các cách chứng minh vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 11 cách dưới đây. Cùng tìm hiểu xem cách đó là những cách nào nha. Các Nội Dung Chính [ hide] Phương pháp 1 – Dùng định nghĩa hai đường vuông góc. Phương pháp số 2 – Tính chất từ 1. Lý thuyết chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc. Giả sử có hai mặt phẳng (P), (Q). Để chứng minh hai mặt phẳng này vuông góc với nhau ta có 2 cách. Cách 1. Tính được ra góc của hai mặt phẳng bằng 900: (${\widehat {(P),(Q)}}$) = 900.Cách 2: Gọi d là một đường thẳng nằm trong mặt 1. Kiến thức: Hiểu và biết cách chứng minh hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền (định lí 1), hệ thức liên quan đến đườ ng cao (định lí 2).2. Kĩ năng: Vận dụng định lí 1, 2 để giải toán.3. Thái độ: Có ý thức ứng dụng toán học vào Kann Ich Gut Flirten Teste Dich. 11 trang khoa-nguyen 77226 9 Download Bạn đang xem tài liệu "8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau Thực ra các bài toán chứng minh hình học HH Eclide chưa ai đưa ra được phương pháp nào chung nhất, vì mỗi bài toán có các khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên, phương pháp chứng minh hình dù đơn giản nhất cũng phải có logic chặt chẽ, suy luận từ các điều đã biết đã được CM hoặc công nhận để đưa ra kết luận. Chứng minh 2 đương thẳng vuông góc cũng thế, không có “Công thức” có sẵn mà chỉ có thể tạm hệ thống 1 số “mẹo/cách”để vận dụng. Mời các bạn tham khảo 8 cách với 20 Bài toán dưới đây. I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG Cách 1 Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ - Trường hợp A, B , C là 3 góc của TG vuông mà B + C = 900 Þ A = 1800 – 900 = 900 - hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn 18002 = 900 - hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành 4 phần bằng nhau 36004 = 900 - Trường hợp góc tạo bởi 2 phân giác của 2 góc kề bù Cách 2 Theo Hệ quả của 2 đường thẳng song song Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Có c//a; Nếu b a Þ b c 2,2 – Hai đường song song với hai đường vuông góc đã biết. Có a b; d//a; c//b Þ cd Cách 3 Dùng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. Trong ABC có AH BC; CI AB Þ BO AC tại K Cách 4 Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung. AB là dây cung trong đường tròn O Néu AM = MB Þ OM AB Cách 5 Phân giác của hai góc kề bù nhau. Có xOz kề bù zOy Nếu O1 = O2 và O3 = O 4 Þ O2 + O3 = 90O hay OmOn Cách 6 Sử dụng góc nội tiếp nửa đường tròn. Trên đường tròn tâm O, đường kính AB Þ Mọi đỉểm M trên đường tròn đều có AM ^BM Cách 7 Sử dụng tính chất đường trung trực. Có H là trung điểm của AB; Điểm M cách đều A và B Þ MH ^AB Cách 8 Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn. Nếu đường tròn O tiếp xúc với MA hoặc MB tại A hoắc B thì OA^ MA và OB ^MB Có một số bài toán chỉ cần áp dụng 1 trong số các cách trên, nhưng nhiều bài toán phải vận dụng cùng lúc nhiều cách. Khi làm bài nên chọn những cách gọn và sáng sủa; nếu có điều kiện thì trình bày nhiều cách. BÀI TOÁN MINH HOẠ µ Bài toán 1 Cho hình bình hành ABCD, BH là đường cao từ B tới AD. Từ A kẻ AF//và = BH; Từ F kẻ FE// và = AD. CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât. Giải Áp dụng cách 1 & 2 Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 các cặp cạnh kề đều vuông góc nhau. vì AF//BH; FE//AD mà AD ^ BH AF ^ FE và AF^ AD FE// và = AD nên DE// và = AF tương tự ta có FE ^ED; ED ^DA. è Vậy ADFE là hình chữ nhật µ Bài toán 2 Chứng minh rằng đường trung bình của tam giác luôn vuông góc với đường cao hạ tới cạnh tương ứng của đường trung bình Giải theo cách 2 Giả sử có ABC với DE là đường TB tương ứng với cạnh BC thì DE//BC. Đường cao AH hạ từ A tới đáy BC Þ AH ^ BC Þ AH ^ DE ĐPCM Điều KL này đúng với cả khi AH không ở trong ABC. µ Bài toán 3 Từ tính chất của hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một, hãy chứng minh 2 đương chéo hình thoi vuông góc với nhau. Giải Áp dụng cách 7 Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một nên 2 đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau Þ 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm. AO = OC; BO = OD Dễ dàng thấy trong TG cân ABC thì BO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của cạnh AC. Þ BO ^ AC Þ BD ^ AC ĐPCM µ Bài toán 4 Cho ABC, các đường cao BD và CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KI ED? Giải ; Bài này chỉ cần CM 1 trong 2 cách sau a/ / CM theo cách thứ 4 Theo GT có BEC = 900 và BDC = 900 Hai góc vuông cùng chắn BC nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kinh BC. Vì K là trung điểm của BC nên K chính là tâm của đường tròn mà ED là 1 dây cung. Vì I là trung điểm của dây cung ED nên è Có KI AD ĐPCM b/ CM theo cách thứ 7 * Nối DK, trongBDC có [1 ] DK là đường trung tuyến Þ * Nối EH; Trong BEC có [2 ] EK là đường trung tuyến Þ Từ [ 1 ] và [ 2 ], suy ra DK = EK. ÞEKD cân tại K. * Do I là trung điểm của DE gt è KI là trung tuyến đồng thời là đường cao và dường trung trực tại cạnh ED của EKD Þ KI ED đpcm Nhận xét CM theo cách thứ 4 gọn hơn và không cần thiết phải kẻ thêm đường phụ * * * µ Bài toán 5 Cho hình thang vuông ABCD, có CD = 2 AB; Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM. Giải Áp dụng cách 2 và 6 Kẻ BE CD E CD. Vì CD = 2AB nên AB = DE = EC. Hay E là trung điểm của CD. * Xét DHC có EM là đường trung bình. Þ EM // DH Þ EM AC Vì DH AC. * Xét tứ giác MADE có và ÞTứ giác MADE nội tiếp đường trong đường kính AE. Tức là bốn điểm M, A, D, E nằm trên một đường tròn. 1 * Xét tứ giác ABED có và AB = DE. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Bốn điểm A, B, E, D nằm trên một đường trong đường kính AE. 2 Từ 1 và 2, suy ra M thuộc đường tròn đường kính AE. Ta có Tứ giác ABMD nội tiếp. Mà Þ BM DM. ĐPCM µ Bài toán 6 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh BN IN. Đề tương tự đề 4 trên Giải Gọi M là trung điểm của BC Có IM là đường TB của hình chữ nhật ABCD I là trung điểm BC, M là trung điểm AD ÞIM // AB Þ Có N là trung điểm của HC, M là trung điểm của BC MN là đường TB của HBC ÞMN // BH Þ MN HC Þ * Xét tứ giác ABMN có 2 góc đối diện ÞABMN là tứ giác nội tiếp 1 Xét tứ giác ABMI có 3 góc ÞABMI là hình chữ nhật hay ABMI cũng là tứ giác nội tiếp 2 Từ 1 2 ta có Năm điểm A, I, N, M, B cùng thuộc một đường tròn đường kính AM và BI. Þ Tứ giác AINB là tứ giác nội tiếp có 2 góc đối nhau cùng chắn 1đường kính là BI Þ Þ BN IN đpcm. µ Bài toán 7 Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE. Giải “Cách 2 và 3” Lấy K là trung điểm của EC; Nối HK Þ HK là đường trung bình củaBEC nên HK // EB 1 Trong EHC, ta có OK cũng là đường trung bình nên OK // HC. 2 Mà AH HC giả thiết 3 Từ 2 và 3, suy ra OKAH * Ta lại có HE AC vì E là hình chiếu của H trên AC ** Từ * và **, suy ra O là trực tâm của AHK AO HK 4 Từ 1 và 4, suy ra AO BE điều phải chứng minh Nhận xét Không thể trực tiếp chứng minh AO BE mà phải kẻ thêm 1 số đường trung gian. Sau đó tìm các mối liên hệ, áp dụng “Cách 2 và 3” để CM µ Bài toán 8 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH AB. Giải Áp dụng Cách 3 Theo đề ta có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nội tiếp chắn nửa đường tròn Xét SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của AN và BM Þ H là trực tâm của SAB è SH thuộc đường cao thứ ba của SAB. èVậy SH AB. µ Bài toán 9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đồng thời ngoại tiếp đường tròn khác có các tiếp điểm M, N, P, Q lần lượt với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác đã cho. Chứng minh rằng MP ^ NQ Giải µ Bài toán 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, AC BD tại H. Trên AB lấy điểm M sao cho Gọi N là trung điểm HC. CMR Giải đây là bài hay nhưng khó vì MH và DN không có liên hệ trực tiếp; do đó phải kẻ thêm 1 số đường phụ, Áp dụng tổng hợp các cách giải số 3; 4; 6; 7.. * Lấy sao cho HE = HB; Nối CE và kéo dài cho cắt AC ở F * Lấy K là trung điểm HE, EK = KH. Từ giả thiết ABCD nội tiếp Þ 1 Dễ thấy BCE cân tại C vì có CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến Þ 2 * Từ 1, 2 suy ra Þ Tứ giác CHDF nội tiếp được đường tròn Þ Þ CE ^ AD 3 Có KN là đường trung bình của HEC ÞKN//CE. Từ 3 Þ KN ^AD * XétAND có DK ^AN nằm trên 2 đường chéo NK^AD vì NK//CE mà CE ^ AD Þ K là trực tâm của AND Þ AK^ DN 4 Từ giả thiết và cách lấy E, K ta có Þ MH// AK theo định lý Thalet đảo 5 èTừ 4, 5 suy ra MH ^DN đpcm PHH sưu tầm đề & biên soạn lời giải 10 / 2015 III. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài tập 1 Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI AC. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của IC và AK . Chứng minh MN BI. Gợi ý Nôi MH ->MH//BI; Chứng minh MH^ MN Bài tập 2 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, BH. Chứng minh AM EF. Bài tập 3 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC. E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD. Chứng minh EF MN. Bài tập 4 Cho ABC vuông tại A . H là hình chiếu của A trên BC. I, K là thứ tự hai điểm thuộc AH và CK sao cho . Chứng minh BI AK. Bài tập 5 Cho hình thang vuông ABCD và AC = m, BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Lấy điểm K Î HC, sao cho . Chứng minh DK AK. Bài tập 6 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB. Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau. Bài tập 7 Cho hình vuông ABCD. T là một điểm bất kì ở trên cạnh AB T khác A và B. Tia DT cắt tia CB tại E. Đường thẳng CT cắt AE tại M. Chứng minh rằng đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng DM. Bài tập 8 Cho hình vuông ABCD cố định. Lấy Điểm T trên cạnh AB T khác A và B. Tia DT cắt tia CB tại E. Đường thẳng CT cắt đường thẳng AE tại M .Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F khi T chạy trên cạnh AB. Bài tập 9 Cho TBE . Vẽ đường phân giác BD và đường cao BF. Từ D dựng DA và DC theo thứ tự vuông góc với cạnh TB và cạnh BE A trên cạnh TB, C trên BE. Chứng minh rằng các đường thẳng TC, AE, BF cắt nhau tại một điểm. Bài tập 10 Đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là hai tiếp điểm của đường tròn đó với hai cạnh AB và AC. Tia MN cắt tia phân giác của góc B tại P. Chứng minh BP vuông góc với CP. Tài liệu đính kèm8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với Một trong những mối quan hệ cơ bản trong hình học sơ cấp là mối quan hệ từ vuông góc đến song song. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin gửi đến các bạn một số bài toán cơ bản của chủ đề này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết về quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song, vừa đưa ra ví dụ cụ thể nhằm giúp các bạn nắm vững và áp dụng vào giải toán. Cùng Kiến Guru tìm hiểu nhé1. Từ vuông góc đến song song Kiến thức cần đang xem Chứng minh vuông góc lớp 71. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc trong hình học có hai tính chất cơ bản sau- Khi hai đường thẳng phân biệt, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì lúc đó, chúng sẽ song song với thể- Cho hai đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng khác vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng đã cho, thì hiển nhiên nó cũng sẽ vuông góc với đường thẳng còn thể2. Các đường thẳng song hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với đường thẳng thứ ba thì cả ba đường thẳng đó đôi một song song thểII. Từ vuông góc đến song song - các dạng bài tập thường 1 Nhận biết song song và vuông phápDạng này thường sử dụng mối quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc của hai đường thẳng cho trước với đường thẳng thứ ba- Nếu 2 đường thằng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì song song Nếu đường thẳng vuông góc với 1 trong cặp đường thẳng song song thì vuông góc đường thẳng còn Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì 3 đường thẳng này đôi một song 1 Hoàn thành câu sau- Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c, và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì…- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, …..thì đường thẳng c cũng vuông góc với đường thẳng dẫn- đường thẳng a song song đường thẳng đường thẳng c vuông góc với đường thẳng xét đối với những bài dạng này, ta chỉ cần áp dụng các tính chất cơ bản đã trình bày ở mục 1 là sẽ dễ dàng tìm ra đáp án. Bài này thuộc mức độ đọc hiểu, không yêu cầu vận dụng lý thuyết 2 Cho đường thẳng d song song với d’. Vẽ đường thẳng d’’ song song với d chú ý d’’ và d’ là phân biệt.Xem thêm Trong Mặt Phẳng Với Hệ Tọa Độ Oxy Cho Hình Chữ Nhật Abcd Có Ad=2AbChứng minh d’ song song với d’’?Hướng dẫnĐể chứng minh 2 đường thẳng song song, ta sẽ sử dụng phương pháp hay được sử dụng trong toán lớp 7, đó là phương pháp phản Giả sử d’ không song song với d’’.Gọi M là giao điểm của d’ và d’’, khi đó M không nằm trên d, vì và .Ta thấy, qua điểm M không thuộc đường thẳng d, ta lại vẽ được tận 2 đường thẳng d’ và d’’ cùng song song với d, điều này là vô lý vì trái với tiên đề vậy vậy điều giả sử là sai, tức là d’ và d’’ không thể cắt ra d’ song song d’’.Dạng 2 Tính số đo các pháp- Vẽ thêm đường thẳng nếu cần- Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, vị trí các góc so le trong, góc đồng vị, góc kề bù để tính Nhắc laị tính chất Khi 2 đường thẳng song song được cắt bởi 1 đường thẳng thứ ba+ Hai góc so le trong bằng nhau.+ Hai góc đồng vị bằng nhau.+ Hai góc trong cùng phía có tổng là 180 3 Cho hình vẽ saugiải thích vì sao ?Tính Hướng dẫna song song b vì hai đường thẳng này đều vuông góc với đường thẳng có tính chất hai góc trong cùng phíasuy ra Bài 4 Cho hình vẽ sau, biết rằng a song song b, . Tính giá trị Hướng dẫnVì a song song b, mà nên Suy ra Dựa vào tính chất hai góc trong cùng phía, lại cósuy ra Bài 5 Xem xét hình vẽ dưới, biết rằng góc A1 có số đo 120 độ, góc D1 bằng 60 độ, góc C1 là 135 độ. Tính giá trị góc x?Hướng dẫnDựa theo tính chất hai góc kề bù suy ra từ đó , vậy AB song song với CD tính chất cặp góc so le trong bằng nhauLại có hai góc kề bù, vậy Mặt khác, AB song song CD nên hai góc đồng vịBài 6 Cho hình vẽ dưới đâyBiết rằng . AB vuông góc AD, BC vuông góc AB và AD với BC có song song với nhau không? Tại sao?Tính giá trị góc còn dẫnTa cótính chất mối quan hệ giữa song song và vuông gócDo AD song song BC câu a, suy ra hai góc so le trong hai góc đồng vịTương tự ta sẽ tính được giá trị các góc còn lại dựa vào tính chất các góc kề bù, góc đồng vị và góc so le đây là tổng hợp các lý thuyết cơ bản trong chủ đề từ vuông góc đến song song của hình học lớp 7. Qua đây, hy vọng các bạn sẽ tự ôn tập và rèn luyện tư duy giải toán hình của mình. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng, các bạn cần nắm vững. Ngoài ra, còn nhiều bài học và bài tập bổ ích khác về mối quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song trên App Kiến Guru, mời bạn tải app Kiến để tham khảo nhé. Chúc các bạn học tập tốt. Dạng toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc là một dạng toán quan trọng trong hình học không gian. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn cách giải dạng toán này. 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trước hết, các bạn cần hiểu khái niệm góc của hai mặt phẳng. Theo định nghĩa gốc sách giáo khoa thì góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông với 2 mặt phẳng đó. Tuy nhiên định nghĩa sau đây sẽ trực quan và dễ sử dụng hơn. Giả sử có hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến d. Mặt phẳng R vuông góc với đường thẳng d cắt P và Q theo giao tuyến a và b. Khi đó góc giữa đường thẳng a và b chính là góc giữa P và Q. Trường hợp hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°. Mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng Q nếu góc của chúng bằng 90°. Hình ảnh bức tường và nền nhà cho chúng ta hình dung về hai mặt vuông góc với nhau. 2. CÁCH CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Nói chung thì xác định góc giữa 2 mặt phẳng cũng không đơn giản. Nên ta thường dùng cách khác để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với hết ta cần nắm được tính chất hai mặt phẳng vuông góc như sau Tính chất 1 Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia và ngược lại. Tính chất 2 Nếu trên mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì 2 mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Chú ý Tính chất 1 thường được dùng để chứng minh đường vuông góc với mặt. Tính chất 2 được dùng để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc. Cụ thể là ta quy bài toán chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc thành bài toán chứng minh đường vuông góc với mặt. Còn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng. Để hiểu rõ hơn các bạn hãy theo dõi ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp có ABCD là hình vuông và SA=SB=SC=SD. Chứng minh rằng SAC⊥ABCD. Giải Phân tích Ta phải tìm một đường nằm trong đáy vuông với SAC. Hoặc tìm một đường nằm trong SAC vuông với đáy. Vì giả thiết có các cạnh bên SA=SB=SC=SD nên ta chọn phương án thứ 2. Gọi O là tâm của đáy. Vì các tam giác SAC và SBD là các tam giác cân nên SO vuông với các đường AC và BD. Do đó SO vuông góc với ABCD. Mà SO nằm trên mặt phẳng SAC. Do đó SAC⊥ABCD. Trên đây là lý thuyết và hướng dẫn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian. Thuộc kiến thức hình học lớp 11. chúc các bạn học tập vui vẻ! Vectơ - Quan hệ vuông góc - Góc giữa 2 vecto trong không gian

các cách chứng minh vuông góc